Giochi Matematici - Esercitazioni 4

CENTRO ELEUSI DELL' UNIVERSITA' BOCCONI
COLLEGIO PIO X DI TREVISO

CAMPIONATI INTERNAZIONALI DI GIOCHI MATEMATICI

Esercizi della Semifinale italiana del 13 Marzo 1999. Qui potete trovare le soluzioni, e qui informazioni sui campionati di giochi matematici.

Inizio C1 1) La tentazione del raddoppio
Giovanni è in viaggio da Parigi a Strasburgo sulla nazionale 4, che passa da Nancy. Un cartello indica Nancy a 150 Km e Strasburgo a 300 Km "Toh, guarda, è il doppio !" pensa Giovanni.
Un po' più tardi, prima di arrivare a Nancy, Giovanni si rende conto che mancano soltanto 50 Km a Nancy.
A che distanza da Strasburgo si trova adesso Giovanni?

2) La carta da indovinare
Una persona del pubblico estrae una carta da un mazzo di 32 carte e la guarda senza mostrarla al mago che la deve indovinare. Ecco il dialogo tra il mago (M) e la persona (P).
M: "La carta è una numero?"                           P: "Sì"
M: "E' pari?"                                                   P: "Sì"
M: "E' un otto?"                                              P: "No"
M: "E' nera?"                                                  P: "Sì"
M: "E' di fiori?"                                               P: "No"
A questo punto il mago ha capito di che carta si tratta. E voi?
Qual è la carta estratta?

Inizio C2, L1 3) Di cotone e ben piegata
Una grande tovaglia quadrata, 100% di cotone, dopo essere stata stirata viene piegata: una prima volta per formare due rettangoli sovrapposti e una volta per formare un quadrato più piccolo. Una terza e quarta piegatura ripetono, con le stesse modalità, le due piegature precedenti. Alla fine di queste operazioni, la tovaglia è ridotta a un quadrat di 24 cm di lato.
Qual è il perimetro della tovaglia, completamente aperta, espressa in cm?

4) Il distributore di merendine
Matilde vuole comprare una merendina da 1 franco al distributore della scuola. La macchinetta accetta solo le monete da 5 centesimi, 10 centesimi, 20 centesimi, 50 centesimi e 1 franco e non dà il resto. Matilde non ha nessun pezzo di valore inferiore a 5 centesimi e nessuna moneta o banconota superiore a 1 franco. Pur avendo nel suo portamonete una somma superiore a 1 franco, Matilde non può comperarsi la merendina poichè è nell'impossibilità di pagare esattamente 1 franco e ... il resto alla macchina non si lascia mai!
Qual somma al massimo Matilde può avere nel suo portamonete?

Inizio L2,GP 5) La famiglia Settimi
La Signora e il Signor Settimi hanno 7 figli nati tutti, stranamente, il 7 Luglio. Ogni anno, per il loro compleanno la signora Settimi offre ad ogni figlio una torta con tante candeline quanti sono i suoi anni.
Giovanni Settimi, il più giovane, si ricorda che 5 anni fa le candeline erano, in totale, la metà di quelle di quest'anno.
Quante candeline saranno accese quest'anno?

6) Il peso degli anni
Il villaggio di Centanime conta 100 abitanti. Il più vecchio è nato nel 1900 e tutti gli abitanti sono nati in un anno diverso, ma tutti il 1 Gennaio. Nel 1999 la somma delle quattro cifre dell'anno di nascita di Giulio -uno degli abitanti di Centanime- è uguale alla sua età.
Quanti anni ha Giulio?

Fine C1 7) Parlando di soldi
Cip e Ciop hanno fatto grossi progressi in aritmetica e adesso affrontano la loro situazione finanziaria, parlando in questo termini:
Cip: L'ammontare dei miei risparmi è molto superiore al tuo. E' un numero di tre cifre, multiplo di 9 e termina per 8.
Ciop: Anche l'ammontare dei miei risparmi è un numero di tre cifre, è un multiplo di tre e termina per 2.
Quanti franchi al massimo Cip possiede in più di Ciop?

8) Il libro di Matilde
Nel libro di 225 pagine che Matilde sta leggendo, la somma delle cifre dei numeri delle due prime pagine del secondo capitolo è 18. Curiosamente anche la somma delle cifre dei numeri delle due ultime pagine di questo capitolo è uguale a 18.
Quante pagine ha il secondo capitolo del libro di Matilde?

Fine C2 9) Il terreno di Tobia
Messer Tobia, che non è mai stato una spia, possiede un terreno rettangolare "quasi" quadrato: la sua lunghezza e la sua larghezza, che sono numeri interi espressi in metri, differiscono esattamente di 1 metro. L'area del terreno di Tobia, espresso in metri quadrati, è un numero di 4 cifre: la cifra delle migliaia e quella delle centinaia sono uguali; lo stesso dicasi per lacifra delle decine e quella delle unità.
Quali sono le dimensioni del terreno di Tobia?
Nota: Il problema ammette tre soluzioni.

10) Quadrati molto speciali
L'intero più piccolo, la somma delle cui cifre è 1, è il numero 1. L'intero più piccolo, la somma delle cui cifre è 2, è il numero 2. L'intero più piccolo, la somma delle cui cifre è 3, è il numero 3...
L'intero più piccolo, la somma delle cui cifre è 10, è il numero 19. L'intero più piccolo, la somma delle cui cifre è 11, è il numero 29 etc. Se ripetiamo la procedura e scriviamo la successione dei numeri così ottenuti, otteniamo: 1, 2, 3, ... 19, 29, ...
Qual è il numero più grande di questa successione, che risulti il quadrato di un numero intero?
Rispondete 0 (zero) se pensate che questo numero non esista.

11) L'aquario
Un acquario messo su un tavolo ha la forma di un parallelepipedo rettangolo di 30 cm di altezza. Lo si riempie d'acqua fino al bordo e poi lo si fa girare intorno a uno degli spigoli della base in modo che il fondo formi un angolo di 45° con il piano del tavolo. In questo modo un terzo del suo contenuto si rovescia sul tavolo. Ora lo si riempie di nuovo fino al bordo e lo si fa ruotare attorno all'altro spigolo della base, in modo da formare ancora un angolo di 45° con il piano del tavolo. In questo modo sono ora i 4/5 del contenuto che si rovesciano sul tavolo.
Qual è il volume dell'acquario in cm³ ?

Fine L1 12) Una divisione del quadrato

Si divida un quadrato in otto triangoli rettangoli tutti diversi l'uno dall'altro, ma tutti simili: la lunghezza del cateto maggiore è sempre il doppio di quella del cateto minore. La figura a lato (che pure non rispetta le proporzioni), mostra il risultato ottenuto.
Le aree di tutti i triangoli, espresse in cm² devono essere dei numeri interi.
Quale è l'area minima del quadrato espressa in cm²?

13) La polca dei dischi
Due dischi "A" e "B" di centro, rispettivamente, "O" e "P", tangenti esternamente, praticano il seguente movimento di danza, in due tempi:
"A" comincia a girare attorno a "B", in senso orario, in modo che il suo centro formi un angolo "ß" (strettamente compreso tra 0° e 180°) attorno al punto "P". Poi, è la volta di "B" che deve girare intorno ad "A", sempre in senso orario, e formare un angolo ß/2 attorno al punto "O".
I dischi ballerini effettuano 10 movimenti completi di questa danza, (ciascuno costituito da due tempi) dopo di che si ritrovano per la prima volta nella posizione di partenza.
Dare il valore dell'angolo "ß" in gradi.
Nota. Il problema ammette tre soluzioni.

Fine L2 e GP 14) Croci sulla scacchiera

Su una scacchiera 11 per 11 sono state scelte 22 caselle in ragione di 2 per riga e 2 per colonna (confronatre il disegno). Due scelte sono considerate equvalenti se possono essere ricavate l'una dall'altra atttraverso permutazioni di righe e/o colonne.
Quante sono le scelte non equivalenti possibili?

Esempi

Inizio C1	1) La tentazione del raddoppio Giovanni è in viaggio da Parigi a Strasburgo sulla nazionale 4, che passa da Nancy. Un cartello indica Nancy a 150 Km e Strasburgo a 300 Km "Toh, guarda, è il doppio !" pensa Giovanni. Un po' più tardi, prima di arrivare a Nancy, Giovanni si rende conto che mancano soltanto 50 Km a Nancy. A che distanza da Strasburgo si trova adesso Giovanni?
	2) La carta da indovinare Una persona del pubblico estrae una carta da un mazzo di 32 carte e la guarda senza mostrarla al mago che la deve indovinare. Ecco il dialogo tra il mago (M) e la persona (P). M: "La carta è una numero?" P: "Sì" M: "E' pari?" P: "Sì" M: "E' un otto?" P: "No" M: "E' nera?" P: "Sì" M: "E' di fiori?" P: "No" A questo punto il mago ha capito di che carta si tratta. E voi? Qual è la carta estratta?
Inizio C2, L1	3) Di cotone e ben piegata Una grande tovaglia quadrata, 100% di cotone, dopo essere stata stirata viene piegata: una prima volta per formare due rettangoli sovrapposti e una volta per formare un quadrato più piccolo. Una terza e quarta piegatura ripetono, con le stesse modalità, le due piegature precedenti. Alla fine di queste operazioni, la tovaglia è ridotta a un quadrat di 24 cm di lato. Qual è il perimetro della tovaglia, completamente aperta, espressa in cm?
	4) Il distributore di merendine Matilde vuole comprare una merendina da 1 franco al distributore della scuola. La macchinetta accetta solo le monete da 5 centesimi, 10 centesimi, 20 centesimi, 50 centesimi e 1 franco e non dà il resto. Matilde non ha nessun pezzo di valore inferiore a 5 centesimi e nessuna moneta o banconota superiore a 1 franco. Pur avendo nel suo portamonete una somma superiore a 1 franco, Matilde non può comperarsi la merendina poichè è nell'impossibilità di pagare esattamente 1 franco e ... il resto alla macchina non si lascia mai! Qual somma al massimo Matilde può avere nel suo portamonete?
Inizio L2,GP	5) La famiglia Settimi La Signora e il Signor Settimi hanno 7 figli nati tutti, stranamente, il 7 Luglio. Ogni anno, per il loro compleanno la signora Settimi offre ad ogni figlio una torta con tante candeline quanti sono i suoi anni. Giovanni Settimi, il più giovane, si ricorda che 5 anni fa le candeline erano, in totale, la metà di quelle di quest'anno. Quante candeline saranno accese quest'anno?
	6) Il peso degli anni Il villaggio di Centanime conta 100 abitanti. Il più vecchio è nato nel 1900 e tutti gli abitanti sono nati in un anno diverso, ma tutti il 1 Gennaio. Nel 1999 la somma delle quattro cifre dell'anno di nascita di Giulio -uno degli abitanti di Centanime- è uguale alla sua età. Quanti anni ha Giulio?
Fine C1	7) Parlando di soldi Cip e Ciop hanno fatto grossi progressi in aritmetica e adesso affrontano la loro situazione finanziaria, parlando in questo termini: Cip: L'ammontare dei miei risparmi è molto superiore al tuo. E' un numero di tre cifre, multiplo di 9 e termina per 8. Ciop: Anche l'ammontare dei miei risparmi è un numero di tre cifre, è un multiplo di tre e termina per 2. Quanti franchi al massimo Cip possiede in più di Ciop?
	8) Il libro di Matilde Nel libro di 225 pagine che Matilde sta leggendo, la somma delle cifre dei numeri delle due prime pagine del secondo capitolo è 18. Curiosamente anche la somma delle cifre dei numeri delle due ultime pagine di questo capitolo è uguale a 18. Quante pagine ha il secondo capitolo del libro di Matilde?
Fine C2	9) Il terreno di Tobia Messer Tobia, che non è mai stato una spia, possiede un terreno rettangolare "quasi" quadrato: la sua lunghezza e la sua larghezza, che sono numeri interi espressi in metri, differiscono esattamente di 1 metro. L'area del terreno di Tobia, espresso in metri quadrati, è un numero di 4 cifre: la cifra delle migliaia e quella delle centinaia sono uguali; lo stesso dicasi per lacifra delle decine e quella delle unità. Quali sono le dimensioni del terreno di Tobia? Nota: Il problema ammette tre soluzioni.
	10) Quadrati molto speciali L'intero più piccolo, la somma delle cui cifre è 1, è il numero 1. L'intero più piccolo, la somma delle cui cifre è 2, è il numero 2. L'intero più piccolo, la somma delle cui cifre è 3, è il numero 3... L'intero più piccolo, la somma delle cui cifre è 10, è il numero 19. L'intero più piccolo, la somma delle cui cifre è 11, è il numero 29 etc. Se ripetiamo la procedura e scriviamo la successione dei numeri così ottenuti, otteniamo: 1, 2, 3, ... 19, 29, ... Qual è il numero più grande di questa successione, che risulti il quadrato di un numero intero? Rispondete 0 (zero) se pensate che questo numero non esista.
	11) L'aquario Un acquario messo su un tavolo ha la forma di un parallelepipedo rettangolo di 30 cm di altezza. Lo si riempie d'acqua fino al bordo e poi lo si fa girare intorno a uno degli spigoli della base in modo che il fondo formi un angolo di 45° con il piano del tavolo. In questo modo un terzo del suo contenuto si rovescia sul tavolo. Ora lo si riempie di nuovo fino al bordo e lo si fa ruotare attorno all'altro spigolo della base, in modo da formare ancora un angolo di 45° con il piano del tavolo. In questo modo sono ora i 4/5 del contenuto che si rovesciano sul tavolo. Qual è il volume dell'acquario in cm³ ?
Fine L1	12) Una divisione del quadrato Si divida un quadrato in otto triangoli rettangoli tutti diversi l'uno dall'altro, ma tutti simili: la lunghezza del cateto maggiore è sempre il doppio di quella del cateto minore. La figura a lato (che pure non rispetta le proporzioni), mostra il risultato ottenuto. Le aree di tutti i triangoli, espresse in cm² devono essere dei numeri interi. Quale è l'area minima del quadrato espressa in cm²?
	13) La polca dei dischi Due dischi "A" e "B" di centro, rispettivamente, "O" e "P", tangenti esternamente, praticano il seguente movimento di danza, in due tempi: "A" comincia a girare attorno a "B", in senso orario, in modo che il suo centro formi un angolo "ß" (strettamente compreso tra 0° e 180°) attorno al punto "P". Poi, è la volta di "B" che deve girare intorno ad "A", sempre in senso orario, e formare un angolo ß/2 attorno al punto "O". I dischi ballerini effettuano 10 movimenti completi di questa danza, (ciascuno costituito da due tempi) dopo di che si ritrovano per la prima volta nella posizione di partenza. Dare il valore dell'angolo "ß" in gradi. Nota. Il problema ammette tre soluzioni.
Fine L2 e GP	14) Croci sulla scacchiera Su una scacchiera 11 per 11 sono state scelte 22 caselle in ragione di 2 per riga e 2 per colonna (confronatre il disegno). Due scelte sono considerate equvalenti se possono essere ricavate l'una dall'altra atttraverso permutazioni di righe e/o colonne. Quante sono le scelte non equivalenti possibili?