Giochi Matematici - Esercitazioni 4

CENTRO ELEUSI DELL' UNIVERSITA' BOCCONI
COLLEGIO PIO X DI TREVISO

CAMPIONATI INTERNAZIONALI DI GIOCHI MATEMATICI

Esercizi della Semifinale italiana del 14 Marzo 1998. Qui potete trovare le soluzioni, e qui informazioni sui campionati di giochi matematici.

Inizio C1 1) I nuovi annali
I nuovi Annali del campionato internazionale di giochi matematici e logici hanno 96 pagine. Tre volumi vengono pubblicati ogni due anni, i primi tre sono stati pubblicati nel 1997.
In quale anno gli Annali supereranno le 1998 pagine?

2) Sulla strada di Tropea
Michele, che rientra a casa e procede verso Tropea (e verso S. Domenica), ha appena superato il cartello rappresentato sotto. Qualche tempo più tardi, egli passa davanti ad un altro cartello che reca le indicazioni seguenti: TROPEA ... S. DOMENICA ...
Egli nota che le due distanze, espresse in chilometri, sono scritte utilizzando le stesse cifre, nello stesso ordine, e differiscono solo per l'esistenza di una virgola nella seconda.
A quale distanza da Tropea si trova Michele?

3) La corsa di Chloè
Durante una marcia in linea retta, Roberta ha 1998 metri di vantaggio sulla cagnetta di razza Shitzu Chloè. Ora, in un secondo Chloè percorre 5 metri, mentre Roberta ne percorre solo 2.
Dopo quanti secondi la cagnetta avrà raggiunto la padroncina?

4) Il dado tetraedrico
Questo dado ha quattro facce identiche (non trasparenti) numerate da 1 a 4. Lo si pone con la faccia 1 sulla casella di un esagono (vedi la figura a lato, vista dall'alto), poi si fa ruotare il dado attorno ad uno dei suoi lati in modo d spostarsi successivamente sulle caselle b, c, d, e fino in f.
Su quale faccia sarà allora appoggiato?

Inizio C2, L1, L2, GP 5) Le sette monete
Sette monete sono tutte allineate, tutte mostrano la "testa" verso l'alto. Ad ogni mossa, si devono ribaltare esattamente tre monete a scelta.
Qual è il numero minimo di mosse necessarie affinchè le sette monete presentino tutte la "testa" verso il basso?

6) Al contrario
Il primo membro dell'uguaglianza sopra riportata ha due fattori (uno di otto cifre e l'altro di uno) dove ogni cifra da 1 a 9 compare una sola volta. Purtroppo, non si tratta della soluzione banale 98765432 × 1 = 98765432.
Quanto vale il secondo fattore?

7) Il piano di Attilio
Attilio abita al quarto piano di un palazzo, nell'appartamento n° 49. In questo palazzo, gli appartamenti sono numerati da 1, in ordine, piano per piano, partendo dal piano terreno. Ogni piano, compreso il piano terreno, ha lo stesso numero di appartamenti. Tutti gli appartamenti del piano di Attilio sono occupati da "single" senza figli..
Quanti sono i vicini di Attilio sul suo piano?

8) Un segmento e dei quadrati
36 chiodi sono piantati regolarmente come nella figura a lato. Vogliamo tendere una cordicella per formare un quadrato che circondi il segmento nero. Questo segmento non deve toccare alcun lato del quadrato, ma un lato del quadrato può toccare due o più chiodi.
Quanti quadrati differenti rispondenti alle condizioni richieste si possono costruire?

Fine C1 9) Una grossa vincita
In Boldavia esiste un gioco d'azzardo molto popolare denominato zingo. Per giocare bisogna fare una puntata al massimo di 20 corone boldave e dividere questa puntata, espressa in corone, in due numeri che si devono scrivere sul proprio foglio di gioco. Quando vince, il fortunato giocatore riceve allora una somma pari al prodotto del quadrato del primo numero per il cubo del secondo (ricordiamo che il quadrato di 5, per esempio, è 5×5, e che il suo cubo è 5×5×5).
Quale vincita massima possiamo aspettarci da un foglio di gioco di zingo?

10) L'isola fiorita
L'isola fiorita è così chiamata perchè nella bella stagione i suoi numerosi alberi da frutto sono in fiore e ciò è molto bello da vedere. Gli alberi da frutto sono disposti in modo che vi sia in media un albero ogni 18 m² di terreno. L'isola ha la forma di un rettangolo due volte più lungo che largo e, quando si fa il giro in battello, restando sempre scrupolosamente a 700 metri dalla riva per meglio contemplarla, si percorrono 6398 m ( il capitano ci aveva dato la distanza in nodi marini, ma noi abbiamo fatto la conversione !)
Potete dirci quanti alberi da frutto ci sono sull'isola?
(Per eventuali calcoli si prenda 22/7 come valore di pi-greco)

FineC2 11) La pistola da calcolo
Il disegno sottostante comprende una riga formata da 11 caselle e sotto un'altra linea di 9 caselle. Le caselle della prima riga sono riempite con dei numeri scelti e, con l'aiuto di una "pistola da calcolo" che può scivolare orizzontalmente, vengono riempite le caselle della seconda riga. Per ogni posizione della pistola, si scrive nella casella in basso la somma dei tre numeri che compaiono in alto. Così, nell'esempio della figura (di cui non si deve tener conto), 7+4+9 = 20.
Riempite la riga in alto con dei numeri interi strettamente positivi tutti differenti, in modo che i numeri in basso siano 9 numeri consecutivi, scritti in ordine crescente da sinistra a destra e di cui il maggiore sia il più piccolo possibile.

Fine L1 12) La torta della nonna
Preparata in casa con tutti ingredienti genuini, la torta della nonna, distesa su un tavolo di marmo aveva attirato gli appetiti di tutti i golosi della famiglia. Dopo due giorni ne restava una libbra (500 grammi) della forma ABCD riportata in figura. Cristina e Marco decidono di dividersela con un ultimo taglio, prolungando [AD]: OCD per Cristina e OAB per Marco.
Con l'aiuto delle dimensioni riportate sul disegno (in pollici), quanti grammi di torta mangerà Marco?

13) L'età di Matteo
Matteo ha quattro figli: una figlia maggiore a tre gemelli. La figlia maggiore di Matteo, che colleziona bambole, ne riceve 14 ad ogni compleanno. Quanto a i gemelli, poichè comincia a mancare lo spazio nella casa, hanno dovuto accontentarsi di 4 orsi di peluche ciascuno per ogni compleano. Matteo constata che addizionando il quadrato della sua età con lasooma dei quadrati degli anni dei suoi figli, aggiungendo 1, ottiene 1998. Inoltre, aggiungendo al quadrato della sua età il numero delle bambole e di orsi di peluche dei suoi figli, sempre aggiungendo 1, ottiene il prodotto dell'età di sua moglie, che ha 29 anni, per l'età di sua madre, che ha 71 anni.
Qual è l'età di Matteo?

Fine L1 14) Prodotto massimo
Abbiamo sistemato i numeri dispari 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 e 15 in un certo ordine X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, in modo che il prodotto (2-X1)(4-X2)(6-X3) ... (16-X8) sia il più grande possibile.
Scrivete l'ordine nel quale sono stati ordinati i numeri 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 e 15.

15) I rettangoli di Rosi
Utilizzando 12 piccoli quadrati uguali si possono formare tre rettangoli differenti (1 × 12; 3 × 4; 2 × 6). Allo stesso modo, quale numero, strettamente minore di 200 piccoli quadrati uguali, consente di formare esattamente sei rettangoli differenti?

Fine L2, GP 16) I terreni dei fratelli Prenditutto
I tre celebri fratelli Prenditutto, dopo una vita di rapine, hanno acquistato, per ritirarsi a vita privata, tre terreni quadrati confinanti ciascuno con un lato ad un lago a forma triangolare, dove essi potranno abbandonarsi alla loro passione: la pesca con la canna. Il triangolo del lago, che non è isoscele, ha una particolarità: le tangenti dei suoi tre angoli sono dei numeri interi. D'altra parte, un lato del lago, non il più grande nè il più piccolo, misura 400 m.
Qual'è la somma delle aree dei terreni dei tre fratelli Prenditutto, espressa in hm²?
Arrotondare all'intero più vicino.

Esempi

Inizio C1	1) I nuovi annali I nuovi Annali del campionato internazionale di giochi matematici e logici hanno 96 pagine. Tre volumi vengono pubblicati ogni due anni, i primi tre sono stati pubblicati nel 1997. In quale anno gli Annali supereranno le 1998 pagine?
	2) Sulla strada di Tropea Michele, che rientra a casa e procede verso Tropea (e verso S. Domenica), ha appena superato il cartello rappresentato sotto. Qualche tempo più tardi, egli passa davanti ad un altro cartello che reca le indicazioni seguenti: TROPEA ... S. DOMENICA ... Egli nota che le due distanze, espresse in chilometri, sono scritte utilizzando le stesse cifre, nello stesso ordine, e differiscono solo per l'esistenza di una virgola nella seconda. A quale distanza da Tropea si trova Michele?
	3) La corsa di Chloè Durante una marcia in linea retta, Roberta ha 1998 metri di vantaggio sulla cagnetta di razza Shitzu Chloè. Ora, in un secondo Chloè percorre 5 metri, mentre Roberta ne percorre solo 2. Dopo quanti secondi la cagnetta avrà raggiunto la padroncina?
	4) Il dado tetraedrico Questo dado ha quattro facce identiche (non trasparenti) numerate da 1 a 4. Lo si pone con la faccia 1 sulla casella di un esagono (vedi la figura a lato, vista dall'alto), poi si fa ruotare il dado attorno ad uno dei suoi lati in modo d spostarsi successivamente sulle caselle b, c, d, e fino in f. Su quale faccia sarà allora appoggiato?
Inizio C2, L1, L2, GP	5) Le sette monete Sette monete sono tutte allineate, tutte mostrano la "testa" verso l'alto. Ad ogni mossa, si devono ribaltare esattamente tre monete a scelta. Qual è il numero minimo di mosse necessarie affinchè le sette monete presentino tutte la "testa" verso il basso?
	6) Al contrario Il primo membro dell'uguaglianza sopra riportata ha due fattori (uno di otto cifre e l'altro di uno) dove ogni cifra da 1 a 9 compare una sola volta. Purtroppo, non si tratta della soluzione banale 98765432 × 1 = 98765432. Quanto vale il secondo fattore?
	7) Il piano di Attilio Attilio abita al quarto piano di un palazzo, nell'appartamento n° 49. In questo palazzo, gli appartamenti sono numerati da 1, in ordine, piano per piano, partendo dal piano terreno. Ogni piano, compreso il piano terreno, ha lo stesso numero di appartamenti. Tutti gli appartamenti del piano di Attilio sono occupati da "single" senza figli.. Quanti sono i vicini di Attilio sul suo piano?
	8) Un segmento e dei quadrati 36 chiodi sono piantati regolarmente come nella figura a lato. Vogliamo tendere una cordicella per formare un quadrato che circondi il segmento nero. Questo segmento non deve toccare alcun lato del quadrato, ma un lato del quadrato può toccare due o più chiodi. Quanti quadrati differenti rispondenti alle condizioni richieste si possono costruire?
Fine C1	9) Una grossa vincita In Boldavia esiste un gioco d'azzardo molto popolare denominato zingo. Per giocare bisogna fare una puntata al massimo di 20 corone boldave e dividere questa puntata, espressa in corone, in due numeri che si devono scrivere sul proprio foglio di gioco. Quando vince, il fortunato giocatore riceve allora una somma pari al prodotto del quadrato del primo numero per il cubo del secondo (ricordiamo che il quadrato di 5, per esempio, è 5×5, e che il suo cubo è 5×5×5). Quale vincita massima possiamo aspettarci da un foglio di gioco di zingo?
	10) L'isola fiorita L'isola fiorita è così chiamata perchè nella bella stagione i suoi numerosi alberi da frutto sono in fiore e ciò è molto bello da vedere. Gli alberi da frutto sono disposti in modo che vi sia in media un albero ogni 18 m² di terreno. L'isola ha la forma di un rettangolo due volte più lungo che largo e, quando si fa il giro in battello, restando sempre scrupolosamente a 700 metri dalla riva per meglio contemplarla, si percorrono 6398 m ( il capitano ci aveva dato la distanza in nodi marini, ma noi abbiamo fatto la conversione !) Potete dirci quanti alberi da frutto ci sono sull'isola? (Per eventuali calcoli si prenda 22/7 come valore di pi-greco)
FineC2	11) La pistola da calcolo Il disegno sottostante comprende una riga formata da 11 caselle e sotto un'altra linea di 9 caselle. Le caselle della prima riga sono riempite con dei numeri scelti e, con l'aiuto di una "pistola da calcolo" che può scivolare orizzontalmente, vengono riempite le caselle della seconda riga. Per ogni posizione della pistola, si scrive nella casella in basso la somma dei tre numeri che compaiono in alto. Così, nell'esempio della figura (di cui non si deve tener conto), 7+4+9 = 20. Riempite la riga in alto con dei numeri interi strettamente positivi tutti differenti, in modo che i numeri in basso siano 9 numeri consecutivi, scritti in ordine crescente da sinistra a destra e di cui il maggiore sia il più piccolo possibile.
Fine L1	12) La torta della nonna Preparata in casa con tutti ingredienti genuini, la torta della nonna, distesa su un tavolo di marmo aveva attirato gli appetiti di tutti i golosi della famiglia. Dopo due giorni ne restava una libbra (500 grammi) della forma ABCD riportata in figura. Cristina e Marco decidono di dividersela con un ultimo taglio, prolungando [AD]: OCD per Cristina e OAB per Marco. Con l'aiuto delle dimensioni riportate sul disegno (in pollici), quanti grammi di torta mangerà Marco?
	13) L'età di Matteo Matteo ha quattro figli: una figlia maggiore a tre gemelli. La figlia maggiore di Matteo, che colleziona bambole, ne riceve 14 ad ogni compleanno. Quanto a i gemelli, poichè comincia a mancare lo spazio nella casa, hanno dovuto accontentarsi di 4 orsi di peluche ciascuno per ogni compleano. Matteo constata che addizionando il quadrato della sua età con lasooma dei quadrati degli anni dei suoi figli, aggiungendo 1, ottiene 1998. Inoltre, aggiungendo al quadrato della sua età il numero delle bambole e di orsi di peluche dei suoi figli, sempre aggiungendo 1, ottiene il prodotto dell'età di sua moglie, che ha 29 anni, per l'età di sua madre, che ha 71 anni. Qual è l'età di Matteo?
Fine L1	14) Prodotto massimo Abbiamo sistemato i numeri dispari 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 e 15 in un certo ordine X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, in modo che il prodotto (2-X1)(4-X2)(6-X3) ... (16-X8) sia il più grande possibile. Scrivete l'ordine nel quale sono stati ordinati i numeri 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 e 15.
	15) I rettangoli di Rosi Utilizzando 12 piccoli quadrati uguali si possono formare tre rettangoli differenti (1 × 12; 3 × 4; 2 × 6). Allo stesso modo, quale numero, strettamente minore di 200 piccoli quadrati uguali, consente di formare esattamente sei rettangoli differenti?
Fine L2, GP	16) I terreni dei fratelli Prenditutto I tre celebri fratelli Prenditutto, dopo una vita di rapine, hanno acquistato, per ritirarsi a vita privata, tre terreni quadrati confinanti ciascuno con un lato ad un lago a forma triangolare, dove essi potranno abbandonarsi alla loro passione: la pesca con la canna. Il triangolo del lago, che non è isoscele, ha una particolarità: le tangenti dei suoi tre angoli sono dei numeri interi. D'altra parte, un lato del lago, non il più grande nè il più piccolo, misura 400 m. Qual'è la somma delle aree dei terreni dei tre fratelli Prenditutto, espressa in hm²? Arrotondare all'intero più vicino.