Giochi Matematici - Esercitazioni

CENTRO ELEUSI DELL' UNIVERSITA' BOCCONI
COLLEGIO PIO X DI TREVISO

CAMPIONATI INTERNAZIONALI DI GIOCHI MATEMATICI

Eccovi la prova per la semifinale di zona del 18 marzo 1995, riproposta come esempio ed esercitazione. Se vi sentite in gamba e volete maggiori informazioni sui campionati di giochi matematici basta cliccare.

Inizio C1
1) Il mosaico di Enrico

Enrico vuole ricoprire completamente il grande quadrato in figura mediante triangoli tutti identici a quello colorato. Quanti triangoli sono necessari?

2) La zia Natalina
La zia Natalina riceve a casa sua i tre piccoli nipoti Chiara, Giovanni e Patrizia. All'ora della merenda distribuisce delle caramelle. Giovanni ne riceve tante quante Chiara, ma Patrizia ne riceve due in più di Giovanni. La zia Natalina ha distribuito in tutto 17 caramelle. Quante caramelle ha ricevuto ciascuno?

Inizio C2 3) Il libro di Tommaso
Tommaso conta tutte le cifre 3 che sono necessarie per la numerazione delle pagine di un bel libro che gli hanno regalato. Le pagine sono numerate nell'ordine a partire dalla pagina 1, senza saltare alcun numero e senza contare le pagine di copertina. Tommaso ha notato che la cifra 3 è stata utilizzata 13 volte. Qual'è il numero dell'ultima pagina numerata del libro di Tommaso?

4) La mancia domenicale
Come ogni domenica Nicola si reca dai nonni. Incontra dapprima la nonna che gli dà 500 lire di mancia, poi il nonno che, come tutte le volte, raddoppia il denaro che si trova nelle tasche di Nicola. Esce dalla casa dei nonni con 10.000 lire in tasca. Con quanti soldi nelle tasche Nicola sarebbe uscito dalla casa dei nonni se avesse incontrato prima il nonno anziché la nonna?

Inizio L1, L2, GP 5) Calcolatrice con soli due tasti
Una calcolatrice ha solamente due tasti: +5 e x5. Quando la si accende, sullo schermo compare il numero 1. Quanti tasti bisogna premere, al minimo, affinché sullo schermo compaia il numero 100?

6) Giovanni e il campo quadrato

Il contadino Giovanni possiede un campo quadrato che vorrebbe suddividere in quattro parti della stessa forma, ciascuna parte contenente una pianta di pero (indicata nel disegno con la lettera P) e una pianta di ciliegio (indicata con la lettera C). Aiutate Giovanni a compiere la suddivisione, mettendo in evidenza i contorni delle quattro parti.

Fine C1
7) La corsa dei girasoli

Il professor Girasole ha appena creato una nuova specie di girasoli. Essi hanno tutti il gambo che misura 62 cm. di lunghezza e che per seguire il cammino del sole, s'incurva formando un quarto di cerchio. I fiori e i rispettivi gambi fanno un giro completo su se stessi in 24 ore. Il professore vorrebbe conoscere la distanza percorsa da un fiore di girasole, durante una giornata. Aiutatelo a trovare la soluzione. (Fornite la risposta arrotondata al cm.)

8) I nodi di Lucia
Lucia ha sempre una coppia di cordini nella propria tasca. Ogni pomeriggio, prima di rientrare a casa, fa il bilancio dei voti ottenuti nella giornata. Per ogni voto dal sei in su (Lucia comincia sempre dai voti positivi), essa fa un doppio nodo con i cordini (vedi figura). Ogni doppio nodo è sempre separato da uno spazio da un altro doppio nodo. Per ogni voto sotto il sei, Lucia disfa un nodo (da doppio il nodo diventa semplice), se ciò risulta possibile. Ma se, dopo questa operazione, resta solo un nodo semplice o alcuni nodi doppi e un nodo semplice, il nodo semplice isolato si scioglie da solo, mentre Lucia rientra a casa a piedi.

Lunedì mattina i due cordini erano integri (senza nodi). Ecco i voti riportati da Lucia nei 4 giorni di scuola (il mercoledì ed il sabato sono vacanza): lunedì 6,7 - martedì 5,9,6 - giovedì 8,3,7 - venerdì 3,4,5. Alla fine della settimana, quanti nodi ci saranno sui due cordini di Lucia? (ogni nodo doppio conta come due nodi)

Fine C2 9) Da Paolo a Virginia
Date la risposta a Virginia.

10) Il filo di Marianna

Marianna, la nipote di Arianna, celebre esperta di labirinti come l'omonima sua illustre antenata, si presenta all'entrata A di un labirinto, munita di una grossa matassa di filo e decide di esplorarlo completamente e di uscire dalla porta B. L'esplorazione deve comunque effettuarsi rispettando le seguenti condizioni:

ogni corridoio deve essere percorso una volta interamente;

Marianna, svolgendo il filo dietro di sè, può passare più volte per lo stesso incrocio, ma la corda non deve mai incrociarsi (sovrapporsi).

Disegnate un possibile percorso di Marianna.

11) Doppiamente vero

Nella forma criptata riportata a lato, come in ogni calcolo criptato, due lettere differenti rappresentano sempre due cifre differenti, e due cifre differenti sono sempre rappresentate da due lettere differenti. Trovare il valore più piccolo e quello più grande per ONZE. (Una sola risposta dà diritto a 5 punti)

12) L'isola dei ducati
Eric Naso Rosso era un famoso pirata. Aveva percorso in lungo e in largo il mar dei Caraibi accumulando un ingente tesoro che aveva nascosto sull'isola dei ducati. Poco prima di morire aveva chiamato a sè il proprio figlio per dargli indicazioni circa la posizione del tesoro. Disse: "su questa isola, si trova un'enorme roccia (R sulla mappa) e un albero centenario (A sulla mappa) distanti un chilometro tra loro. Il tesoro si trova al vertice del triangolo che ha un lato sulla retta (AR), un angolo di 30° con vertice R, un lato di 600 metri e un altro di 400 metri...". Purtroppo Eric è spirato prima di poter dire altro. Indicate il numero delle possibili posizioni del tesoro e disegnatele. Nota: abbiamo controllato, il tesoro non si trova in R!

Fine L1 13) Le caselle evitate
Quattro ruote dentate ruotano su un lungo nastro formato di 1995 caselle quadrate identiche, numerate da 1 a 1995. La prima ruota dentata punzona (buca) una casella ogni 4, a partire dalla casella nr. 4. La seconda ruota punzona una casella ogni 5, a partire dalla casella nr. 5. La terza ruota punzona una casella ogni 7, a partire dalla casella nr. 7. La quarta ruota infine punzona una casella ogni 13, a partire dalla casella nr. 13. Allorché tutte le ruote hanno percorso tutto il nastro, quante caselle resteranno non punzonate?

14) Un numero pari di cerini
Francesco e Giuseppe giocano a un gioco con dei cerini. Vi sono in tavola 1995 cerini: ogni giocatore a turno deve prenderne 1 o 2 o 3 o 4 o 5 a sua scelta. Vince chi, quando non vi sono più cerini in tavola, si trova in mano un numero pari di cerini. Inizia il gioco Francesco. Può essere certo della vittoria? In caso affermativo, quale deve essere la sua prima mossa se vuole vincere, qualunque sia la mossa del suo avversario? (Rispondere 0 se pensate che sia Giuseppe a vincere)

Fine L2 e GP
15) Gli specchi

Due specchi rettangolari identici sono disposti verticalmente, formando tra loro un angolo di 1°. I bordi verticali dei due specchi sono separati da una lunghezza x da una parte e da una lunghezza 2x dall'altra (nella figura sottostante i due specchi sono visti dall'alto e, evidentemente, la misura dell'angolo non è precisa). Un raggio luminoso orizzontale penetra tra i due specchi e colpisce la superficie di uno dei due. Qual'è il numero massimo di riflessioni che può fare il raggio luminoso?

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Esempi

Inizio C1	1) Il mosaico di Enrico Enrico vuole ricoprire completamente il grande quadrato in figura mediante triangoli tutti identici a quello colorato. Quanti triangoli sono necessari?
	2) La zia Natalina La zia Natalina riceve a casa sua i tre piccoli nipoti Chiara, Giovanni e Patrizia. All'ora della merenda distribuisce delle caramelle. Giovanni ne riceve tante quante Chiara, ma Patrizia ne riceve due in più di Giovanni. La zia Natalina ha distribuito in tutto 17 caramelle. Quante caramelle ha ricevuto ciascuno?
Inizio C2	3) Il libro di Tommaso Tommaso conta tutte le cifre 3 che sono necessarie per la numerazione delle pagine di un bel libro che gli hanno regalato. Le pagine sono numerate nell'ordine a partire dalla pagina 1, senza saltare alcun numero e senza contare le pagine di copertina. Tommaso ha notato che la cifra 3 è stata utilizzata 13 volte. Qual'è il numero dell'ultima pagina numerata del libro di Tommaso?
	4) La mancia domenicale Come ogni domenica Nicola si reca dai nonni. Incontra dapprima la nonna che gli dà 500 lire di mancia, poi il nonno che, come tutte le volte, raddoppia il denaro che si trova nelle tasche di Nicola. Esce dalla casa dei nonni con 10.000 lire in tasca. Con quanti soldi nelle tasche Nicola sarebbe uscito dalla casa dei nonni se avesse incontrato prima il nonno anziché la nonna?
Inizio L1, L2, GP	5) Calcolatrice con soli due tasti Una calcolatrice ha solamente due tasti: +5 e x5. Quando la si accende, sullo schermo compare il numero 1. Quanti tasti bisogna premere, al minimo, affinché sullo schermo compaia il numero 100?
	6) Giovanni e il campo quadrato Il contadino Giovanni possiede un campo quadrato che vorrebbe suddividere in quattro parti della stessa forma, ciascuna parte contenente una pianta di pero (indicata nel disegno con la lettera P) e una pianta di ciliegio (indicata con la lettera C). Aiutate Giovanni a compiere la suddivisione, mettendo in evidenza i contorni delle quattro parti.
Fine C1	7) La corsa dei girasoli Il professor Girasole ha appena creato una nuova specie di girasoli. Essi hanno tutti il gambo che misura 62 cm. di lunghezza e che per seguire il cammino del sole, s'incurva formando un quarto di cerchio. I fiori e i rispettivi gambi fanno un giro completo su se stessi in 24 ore. Il professore vorrebbe conoscere la distanza percorsa da un fiore di girasole, durante una giornata. Aiutatelo a trovare la soluzione. (Fornite la risposta arrotondata al cm.)
	8) I nodi di Lucia Lucia ha sempre una coppia di cordini nella propria tasca. Ogni pomeriggio, prima di rientrare a casa, fa il bilancio dei voti ottenuti nella giornata. Per ogni voto dal sei in su (Lucia comincia sempre dai voti positivi), essa fa un doppio nodo con i cordini (vedi figura). Ogni doppio nodo è sempre separato da uno spazio da un altro doppio nodo. Per ogni voto sotto il sei, Lucia disfa un nodo (da doppio il nodo diventa semplice), se ciò risulta possibile. Ma se, dopo questa operazione, resta solo un nodo semplice o alcuni nodi doppi e un nodo semplice, il nodo semplice isolato si scioglie da solo, mentre Lucia rientra a casa a piedi. Lunedì mattina i due cordini erano integri (senza nodi). Ecco i voti riportati da Lucia nei 4 giorni di scuola (il mercoledì ed il sabato sono vacanza): lunedì 6,7 - martedì 5,9,6 - giovedì 8,3,7 - venerdì 3,4,5. Alla fine della settimana, quanti nodi ci saranno sui due cordini di Lucia? (ogni nodo doppio conta come due nodi)
Fine C2	9) Da Paolo a Virginia Date la risposta a Virginia.
	10) Il filo di Marianna Marianna, la nipote di Arianna, celebre esperta di labirinti come l'omonima sua illustre antenata, si presenta all'entrata A di un labirinto, munita di una grossa matassa di filo e decide di esplorarlo completamente e di uscire dalla porta B. L'esplorazione deve comunque effettuarsi rispettando le seguenti condizioni: ogni corridoio deve essere percorso una volta interamente; Marianna, svolgendo il filo dietro di sè, può passare più volte per lo stesso incrocio, ma la corda non deve mai incrociarsi (sovrapporsi). Disegnate un possibile percorso di Marianna.
	11) Doppiamente vero Nella forma criptata riportata a lato, come in ogni calcolo criptato, due lettere differenti rappresentano sempre due cifre differenti, e due cifre differenti sono sempre rappresentate da due lettere differenti. Trovare il valore più piccolo e quello più grande per ONZE. (Una sola risposta dà diritto a 5 punti)
	12) L'isola dei ducati Eric Naso Rosso era un famoso pirata. Aveva percorso in lungo e in largo il mar dei Caraibi accumulando un ingente tesoro che aveva nascosto sull'isola dei ducati. Poco prima di morire aveva chiamato a sè il proprio figlio per dargli indicazioni circa la posizione del tesoro. Disse: "su questa isola, si trova un'enorme roccia (R sulla mappa) e un albero centenario (A sulla mappa) distanti un chilometro tra loro. Il tesoro si trova al vertice del triangolo che ha un lato sulla retta (AR), un angolo di 30° con vertice R, un lato di 600 metri e un altro di 400 metri...". Purtroppo Eric è spirato prima di poter dire altro. Indicate il numero delle possibili posizioni del tesoro e disegnatele. Nota: abbiamo controllato, il tesoro non si trova in R!
Fine L1	13) Le caselle evitate Quattro ruote dentate ruotano su un lungo nastro formato di 1995 caselle quadrate identiche, numerate da 1 a 1995. La prima ruota dentata punzona (buca) una casella ogni 4, a partire dalla casella nr. 4. La seconda ruota punzona una casella ogni 5, a partire dalla casella nr. 5. La terza ruota punzona una casella ogni 7, a partire dalla casella nr. 7. La quarta ruota infine punzona una casella ogni 13, a partire dalla casella nr. 13. Allorché tutte le ruote hanno percorso tutto il nastro, quante caselle resteranno non punzonate?
	14) Un numero pari di cerini Francesco e Giuseppe giocano a un gioco con dei cerini. Vi sono in tavola 1995 cerini: ogni giocatore a turno deve prenderne 1 o 2 o 3 o 4 o 5 a sua scelta. Vince chi, quando non vi sono più cerini in tavola, si trova in mano un numero pari di cerini. Inizia il gioco Francesco. Può essere certo della vittoria? In caso affermativo, quale deve essere la sua prima mossa se vuole vincere, qualunque sia la mossa del suo avversario? (Rispondere 0 se pensate che sia Giuseppe a vincere)
Fine L2 e GP	15) Gli specchi Due specchi rettangolari identici sono disposti verticalmente, formando tra loro un angolo di 1°. I bordi verticali dei due specchi sono separati da una lunghezza x da una parte e da una lunghezza 2x dall'altra (nella figura sottostante i due specchi sono visti dall'alto e, evidentemente, la misura dell'angolo non è precisa). Un raggio luminoso orizzontale penetra tra i due specchi e colpisce la superficie di uno dei due. Qual'è il numero massimo di riflessioni che può fare il raggio luminoso?